Nếu biến đổi f : V → W {\displaystyle f:V\rightarrow W} là tuyến tính, ta định nghĩa hạt nhân của f {\displaystyle f} ký hiệu ker ⁡ ( f ) {\displaystyle \ker(f)} , ảnh của f {\displaystyle f} và hạng của f {\displaystyle f} như sau:

ker ⁡ ( f ) = { x ∈ V : f ( x ) = 0 } {\displaystyle \operatorname {\ker } (f)=\{\,x\in V:f(x)=\mathbf {0} \,\}} im ⁡ ( f ) = { f ( x ) : x ∈ V } {\displaystyle \operatorname {im} (f)=\{\,f(x):x\in V\,\}}

ker ⁡ ( f ) {\displaystyle \ker(f)} là một không gian con của V {\displaystyle V} và im ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {im} (f)} là không gian con của W {\displaystyle W} . Công thức sau đây được xem là định lý về số chiều:

dim ⁡ ( ker ⁡ ( f ) ) + dim ⁡ ( im ⁡ ( f ) ) = dim ⁡ ( V ) {\displaystyle \dim(\ker(f))+\dim(\operatorname {im} (f))=\dim(V)\,} .[12]

Số dim ⁡ ( im ⁡ ( f ) ) {\displaystyle \dim(\operatorname {im} (f))} cũng được gọi là hạng của f {\displaystyle f} ký hiệu là rank ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {rank} (f)} , hoặc ρ ( f ) {\displaystyle \rho (f)} ;[13] còn số dim ⁡ ( ker ⁡ ( f ) ) {\displaystyle \dim(\ker(f))} được gọi là số vô hiệu (nullity) của f {\displaystyle f} và ký hiệu là null ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {null} (f)} hay ν ( f ) {\displaystyle \nu (f)} . Nếu V {\displaystyle V} và W {\displaystyle W} là hữu hạn chiều, và f {\displaystyle f} được biểu diễn bởi ma trận A {\displaystyle A} , thì hạng và số vô hiệu của f {\displaystyle f} tương ứng bằng hạng và số vô hiệu của ma trận A {\displaystyle A} .